反过来想
有些题目顺着已知条件思考颇感困难，若反过来想想，则能化难为易。
例1 一个长方体，表面积是66.16cm2,底面积是19cm2,底面周长是17.6cm,求这个长方体的高?
逆向思考：
三个相邻面积的和为66.16÷2=33.08(cm2);
两个相邻面积的和33.08-19=14.08(cm2);
长与宽的和17.6÷2=8.8(cm);
由“(长+宽)×高=两个相邻面积”知长方体的高为
14.08÷8.8=1.6(cm).
例2 如图，等腰直角三角形的面积是4.5cm2，用8个这样的三角形组成一个正方形，这个正方形的周长是多少?
由等腰直角三角形的面积是4.5cm2可知小正方形的面积是4.5×2=9(cm2)，只有小正方形的边长为3cm时，它的面积才能为3×3=9(cm2).
小正方形的边长是3cm,大正方形的边长是3×2=6(cm),大正方形的周长是6×4=24(cm).
反面想
有些应用题用常规的方法思考，思路不简明，计算也不简捷，甚至束手无策。如能从题目的条件或问题相反的方向，去寻求解题的途径，却显得相当容易。
例3 何校长组织了40名学生，参加用15分制记分(即分数为0、1、2…15)的数学竞赛。经统计，总分为209分，且相同分数的人不超过5人。试说明：得分超过12分的学生至多只有9人。
本题直接从条件推出结论，情况很复杂。
如果从结论的反面，即从“得分超过12分的学生至少有10人”想，问题的解法就化难为易了。
因为在得分超过12分的学生至少有10人的情况下，总分至少为
(0+1+2+3+4+5+13+14)×5=42×5=210(分)
210分，大于条件的209分。
这矛盾说明“得分超过12分的学生至少有10人”的情况是不可能的。所以，只能是“得分超过12分的学生至多只有9人。”
例4 某厂扩建，实际投资200万元，比计划节约20%，计划投资是实际投资的百分之几?
解题分析：此题按一般的解法，先要求出计划投资数，再除以实际投资数。
如能从问题的反面想，思路将更简明、清晰、计算也简单。即把计划投
.
例5 成吉思汗小学举行数学竞赛，共有10题每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分，小明得41分，他做对了多少题?
解题分析：如从问题的正面想，用“假设法”或其他方法解较麻烦。但从“做对多少题”的对立面“做错多少题”去考虑，则极易得解。
因为每做错一题，不但没有得分，反而要倒扣5分，所以每做错一题，就要失分：
8+5=13(分)，
小明共失分：80-41=39(分)，
即小明做错了：39÷13=3(题)，
故做对：10-3=7(题)。
综合算式为：
10-(80-41)÷(8+5)=7(题)
例6
本题若拘泥于常规思路，朝着“女工人数”去想，在小学的知识范围内，解题就很困难。但是，如改变方向，从男工人数方面去想，男工人数没变，
调走几名女工后的总人数：
所以，调走女工人数为248-240=8(人)。
例7 一库粮食，甲车单独运完要12天，乙车独运要18天。合作运中乙休息了2天，几天运完的?
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（三）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧变体
例1 求图形的体积。(单位：cm)
把圆柱看成圆锥。圆柱的高是圆锥的9÷3=3(倍)，由底面积相等知圆柱包含3×3=9(个)这样的圆锥，共9+1=10(个)。
42×3.14×(9+1)=502.4(cm3)
巧拆数
例2 A、B两城之间有一条999千米长的高速公路。高速公路上每隔1千米都竖有一块路标。上面标有到A、B两地的距离(见图)。试问有多少个路标上，它们的两个数都只有两个不同的数字组成的?(例如118与881, 222与777等)
解：路标上两个数之和都是999.将999拆成两个数之和，且这两个数只有两个不同数字组成;最后将各种不同情况的数字进行排列，则得：
(1)0与9.路标上的两个数分别是：
000 009 099 909
999 990 900 090
(2)1与8.路标上的两个数分别是：
111 118 188 818
888 881 811 181
(3)2与7.路标上的两个数分别是：
222 227 277 727
777 772 722 272
(4)3与6.路标上的两个数分别是：
333 336 366 636
666 663 633 363
(5)4与5.路标上的两个数分别是：
444 445 455 454
555 554 544 545
所以共有20块路标上，千米数只有两个不同的数字组成的。
巧代入
例3
由题意知：
将③代入①得：
将④代入①得：
解法三：由②先求出“桃重量是梨重量的几分之几”。
将⑤代入①得：
梨重620÷[2/3+(1÷2/5)÷(1÷1/4)]=480(千克)
将⑥代入①得：
巧分形
例4 求阴影部分面积。(单位：厘米)
一般解法：
梯形面积减三角形面积：(4+14)×7÷2-10×7÷2.
沿中心轴把图形分成相等的两部分：〔(4÷2+14÷2)×72-10÷2×7÷2〕×2.
巧解法：看作两个或一个平行四边形。
2×7×2=28(cm2),
4×7= 28(cm2).
例5 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题：图中四个圆的半径都是1米，圆心分别在正方形的四个顶点上。求阴影部分面积?(π≈3.14)
角为270°的扇形和中间一个正方形，解答简便。
S阴=4S扇+S正
=3S圆+S正
=3.14×12×3+(1+1)2
=13.42(m2).
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（二）
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巧变换
适当的等效变换，可使新题不新、难题不难、抽象的变得具体、繁琐的变得简单、叙述复杂的显得条理清楚。不但能开拓解题思路，而且能培养从不同角度进行审题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。
例1 一个书架有三层，共放图书270本，上层与中层图书本数的比是4∶5,中层与下层图书本数的比是10∶9.上、中、下层各放图书多少本?
把相比关系转化为分数关系。
由于在两个比中都有中层书的本数，因此，可把中层书的本数作为标准量
例2 甲、乙两车同时从相距324千米的两地相向而行，甲车每小时行
“甲、乙两车的速度比是4：5”.由于时间一定，速度与路程成正比例，可知相遇时甲、乙两车所行路程的比是4∶5.
例3某项工程，甲独做要20天完成，乙独做要30天完成，开始两人合作，中间因事甲离开了几天，所以经过15天才完成全工程。甲离开了几天?
把题意转变为“……乙先做15天，剩下的任务由甲完成，甲还要几天”，只要求出甲做了几天，就可求出他离开了几天。
15-10=5(天)
其他解法：
假设法：假设甲中途不离开并且与乙合做15天，那么，甲、乙二人可完
乙做了15天，比甲不离开多做了3天。这3天乙所做的工作量是甲中途离开
所以，甲实际工作了12-2=10（天），中途离开了15-10=5(天)。
对应法：根据题意，“完成全工程，甲要20天，乙要30天。”知甲完
=10(天)，而甲独做要20天，所以甲还要做20-10=10(天)，中途离开了15-10=5(天)
设工效法：设甲独做每天完成的工作量为1，则工作总量为1×20=20,
剩下的工作量(20-10)由甲完成还要(20-10)÷1=10(天)，故甲中途离开了15-10=5(天)
代数法：设甲中途离开x天，并把这项工程看作单位
完成的工作量等于1，得方程
解得 x=5
若按分数问题的思路解，既难又繁;如果按比例分配的思路解，就比较容易了。
甲：乙=
甲种128÷(3+5)×3=48(条)
乙种128-48=80(条)
例5 一辆汽车计划每小时行驶55千米。从A地到B地需6小时。实际上这辆车1.5小时行了90千米，照这样的速度，从A地到B地需多少小时?
因为A地到B地距离一定，即速度×时间=路程(一定)，速度与时间两个量成反比例。
设走完这路程实际需x小时，则有
解之得 x=5.5
不妨把题中的数量关系的形式变换一下。题目说：“照这样的速度”，意即 路程/时间=速度(一定)，就是说前1.5小时与这1.5小时之后的速度不变。设所求的时间为x，根据正比例关系有
解之得 x=5.5
再不妨把已知条件的叙述转化一下。速度的倒数是表示行驶单位路程所
要6小时，实际要x小时。
倒数正比例关系。
解之得 x=5.5
例6 甲3小时耕种的地等于乙2小时耕种的地，当甲耕1.4亩地时，乙耕地多少亩?
工作量的比等于效率的比。
因为时间t一定时，耕地面积S与耕地效率n成正比例。
此题没给出甲、乙的耕作效率，只给出甲、乙的时间关系，即“甲3小时耕种的地等于乙2小时耕种的地”。
可把时间的比变换为效率的比。
解得 x=2.1
例7 小李贵上街为食堂买酱油和醋，原应买4千克酱油和5千克醋，共需5.45元。但他错买成5千克酱油和4千克醋，余下0.01元。酱油和醋每千克各多少元?
将条件、结构和问题的叙述方式变换一种说法，从而使题目的数量关系明朗化、简单化。
变条件，即“买(4+5)千克酱油和(5+4)千克醋共需付5.45×2-0.01=10.89(元)”这样通过求出“买1千克酱油和1千克醋需付10.89÷9=1.21(元)”进而就很容易求出
1千克醋为 5.45-1.21×4=0.61(元)
1千克酱油 0.61-0.01=0.60(元)
例8 有两篓苹果，平均每篓重56千克，现从甲篓取出7千克放入乙篓，则两篓苹果相等。原来各重多少千克?
题中“两篓苹果平均每篓重56千克”可变更为“两篓苹果一共重56×2=112(千克)”。“现从甲篓中取出7千克放入乙篓，则两篓的苹果相等”又可变更为“两筐苹果相差7×2=14(千克)”。
这样，根据“(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数”，便可求出
甲篓原有(56×2+7×2)÷2=63(千克)
乙篓原有(56×2-7×2)÷2=49(千克)
例9 甲乙两人共有人民币若干元，若乙给甲30元，则乙余下的钱是甲现有钱的25%，甲原有钱占总数的60%，乙原有人民币多少元?
用多种基础知识，对这道较复杂的分数应用题的数量关系加以转化，寻求解题途径。
按一般思路分析：要求乙原有的钱数，须知总钱数;要求总钱数，就要求出已知的30元对应于总钱数的分率。已知甲原有的钱是总钱数的60%，乙给甲30元后，余下的钱是甲现有钱数的25%，两个分率对应的单位“1”不同。
根据分率的意义变换：由题设“乙余下的是甲现有钱数的25%”，如果把甲现有的钱数看作100份，乙余下的钱相当于这样的25份，甲乙共有钱相
根据比的意义转化：由题设“乙余下的钱是甲现有钱的25%”,可求乙余下的钱和甲现有钱数的比是25%.
根据和倍问题的解法变化：已知“乙余下的钱是甲现有钱的25%”，又知道乙余下的钱和甲现有的钱占总数的分率和为“1”.
可按“和÷(倍数+1)=一倍数”，分别求出乙余下的钱和甲现有的钱所占总数的分率。于是得
解法5：
30÷[1÷(25%+1)-60%]×(1-60%)
=60(元)
解法6：
30÷[1-60%-1÷(25%+1)×25%]×(1-60%)
=60(元)
根据乘法分配律转化：由乘法分配律可得规律：“如果乙数是甲数的m倍，把甲数分为任意的两个部分，乙数也可以分为相应的两个部分，使其分别是甲数分成的两个部分的m倍。即如果乙数=甲数×m，甲数=d+c，那么乙数一定可以分为a、b两个部分，使 a=d·m,b=c·m.
根据这一规律，由题设乙给甲30元后，甲现有的钱由两部分组成：总钱数的60%和30元。已知“乙余下的钱是甲现有钱的25%”,我们可以把乙余下的钱也分为两部分，使一部分是60%的25%(即占总数的几分之几)，一部分是30元的25%.
如图：
可见，(30+30×25%)元相当于两个人总钱数的(1-60%-60%×25%)。于是得
(30+30×25%)÷(1-60%-60%×25%)×(1-60%)=60(元)
例10 一只篮子里有四种水果，两个水果中有一个苹果，六个水果中有一个梨，八个水果中有一个香蕉，桔子十个，共有多少个?
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（一）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧 分 组
例1 下式的结果是( )。
分子是连锁自然数，且分母相同，共有1990个分数。除了前四个和后两个分数外，剩下的1984个分数均按连续4个减、4个加的顺序排列，且后4个分数的分子之和比前4个分数的分子之和多16[如(9+10+11+12)-(5+6+7+8)=16].
把这样的八个分数分为一组，可分成(1990-6)÷8=248(组)。每组的分子差16,248组是16×248=3968.
巧 归 类
例2 用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、乘、除四个算式，每个数只许用一次。
根据逆运算关系，把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。
编加减法算式，比编乘除法算式多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、10、8、6,先编除法算式更为适宜。
(1)12÷3=4 (2)12÷2=6
12÷4=3 12÷6=2
(3)10÷2=5 (4)8÷2=4 (5)6÷2=3
10÷5=2 8÷4=2 6÷3=2
确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次，此组已出现3、4、12.
乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。
若(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式
12÷3=4 10÷2=5
12÷4=3 10÷5=2
4×3=12 5×2=10
3×4=12 2×5=10
剩的六个数，可组成
6+7=13 8+1=9
7+6=13 1+8=9
13-6=7 9-1=8
13-7=6 9-8=1
整理：
组合：
(1)组可组合算式
(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。
巧 类 推
例3 1、2、3、…、8、9这九个数字，可组成( )个九位数
"1"只能组成1个一位数;
"1、2"能组成12、21两个两位数;
"1、2、3"这三个数字，可组成123、132、213、231、312、321这6个三位数。
可见，由两个一位数组成的两位数的个数为2×1;由三个一位数组成的三位数的个数为3×2.依此类推：
2×1=2,
3×2=6,
4×6=24,
5×24=120,
6×120=720,
7×720=5040,
8×5040=40320,
9×40320=362880.
即，可组成362880个九位数。
巧比较
例4 6支毛笔和3支铅笔，总价5.16元;4支毛笔和3支铅笔，总价3.56元。求两种笔的单价?
解：直接相比，铅笔的支数相同，毛笔多(6-4)支，即2支，总价便多(5.16-3.56)元，1.60元。因此得算式
毛笔每支(5.16-3.56)÷(6-4)=0.8(元)
铅笔每支(3.56-0.8×4)÷3= 0.12(元)
例5 5只鸡、4只兔共重11千克，鸡轻兔重，如果交换1只，然后分别称，则所得的重量相等。问鸡、兔每只重多少?通过比较找出鸡与兔之间的关系。
题目给的条件：
5鸡4兔共重11千克;
4鸡1兔重量=1鸡3兔重量。
比较：(1)两边都拿出1鸡1兔，则，3鸡与2兔重量相等;
(2)原5鸡4兔相当于几只鸡?
5+3×(4÷2)=11(只)
也就是说11只鸡重11千克，因此，得出解法：
每只鸡重 11÷〔5+3×(4÷2)〕=1(千克)
每只兔重(11-1×5)÷4=1.5(千克)
或 1×3÷2=1.5(千克)
例6 奖给第三小学足球8个，篮球2个，价值396元;奖给第二小学足球4个，篮球3个，价值274元。单价各多少元?解：将一种球的两个数量变为相同，且变足球简捷。把奖给第二小学的球数和总价都扩大2倍，则变为足球8个、篮球6个、价值548元，再与第三小学相比。解法同例5.
例7 煤管处给运距不等的A、B、C三户送煤。第一次分别运去6吨、5吨、2吨，收运费33.2元;第二次各运去2吨，收运费14元;第三次分别运去4吨、3吨、2吨，收运费22.4元。各户应付运费多少?
观察下表：
第三次与第二次相比，A户多运2吨，B户多运1吨，多付运费22.4-14=8.4(元)。
第一次与第三次相比，A、B两户各多运2吨，多付运费33.2-22.4=10.8(元)。
再将两次比得的结果相比：
A户2吨 B户1吨 付8.4元
A户2吨 B户2吨 付10.8元
显然，可得
B户1吨运费 10.8-8.4=2.4(元)
A户1吨运费(8.4-2.4)÷2=3(元)
C户1吨运费(14-3×2-2.4×2)÷2=1.6(元)
应各付运费：
A为3×(6+2+4)=36(元)
B为2.4×(5+2+3)=24(元)
C为 1.6×(2+2+2)=9.6(元)
例8 (北京市1990年奥林匹克竞赛题)：
一个水池子，甲、乙两管同时开，5小时灌满;乙、丙两管同时开，4小时灌满;如果乙管先开6小时，还需要甲、丙管同时开2小时才能灌满(这时乙管关闭)。那么乙管单独灌满水池需要多少小时?
列表：
比较。由(1)、(2)、(3)知：
由(3)、(5)可知：
可知：
或 1×3×5=15(小时)。
解答。再加上乙独灌的5小时，就是乙独灌满水池共需15+5=20(小时)。
小学数学难题解法大全之如何去想（六）
文章摘要：在遇到某些具体问题时同学们该如何去想，该想些什么东西。为此，数学频道编辑部整理了一些这方面的内容，以便同学们更好的去学习这些知识。
由验算想
例1 思考题：计算1212÷101,……,3939÷303,你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数?
4848÷202,7575÷505,……
3939÷303
=(3030+909)÷303
=3030÷303+909÷303
=10+3=13
备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷303=( ),
商百位上的3和13相乘才可得39,商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。
所以商是12.
由余数想
例2 有三堆石子的个数分别为19、8、9,现进行如下操作，每次从三堆中的任意两堆中分别取出1个石子，然后把这两个石子都放到另一堆上去。试问：能否经过若干次这样的操作后，使得
(1)三堆的石子数分别为2,12,22;
(2)三堆的石子数均为12.
如能达到要求，请用最少的操作次数完成它。如不能达到，说明理由。
分析：由于每一次操作后，每堆石子或者是减1,或者是加2,所以不管是取出减少或放入增加，每进行一次操作后三堆石子数被3除的余数虽然改变，但被3除后余数互不相等的关系不会改变。因为19、8、9三数被3除的余数分别为1,2,0,所以，要使操作后达到某一要求，必须得到三堆石子数被3除后余数是0、1、2三个数字的不同排列。
(1)因2、12、22被3除后的余数分别为2(实际是0、2)、0、1,所以能达到要求，因原来最少一堆有8个石子，要使它变为2,最少要经过六次操作。事实上，六次可以成功：
(2)因为三堆石子数均为12时,被3除余数为0,所以不管如何操作，都不能达到要求。
从较大数想起
例3 从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法?
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6+5;
取7有7+4，7+5，7+6;
…………………………………………
取10有九种 10+1，10+2，……10+9.
共为 1+3+5+7+9=25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9，2+10;……较小数为9的有9+10.
共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19.
和是11的有五种1+10，2+9，3+8，4+7，5+6;和是11～19的取法
5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。
倒过来想
例4 怎么计算一个空啤酒瓶子的容积?不许装满水，然后倒在量杯里量。
有的同学说：“瓶子下面是个圆柱体，用尺子量底面直径和高，用公式 3.14×半径2×高，计算;上面那一段容积是不规则形体，无法计算，估计一下就行了。”
这是不对的。可先倒半瓶水盖好盖，计算出有水部分瓶子的容积。把瓶子倒过来后，再计算出瓶子里空隙部分的容积，加起来不就是整个瓶子的容积吗?
例5 在甲城到乙城的公路上，有同向行驶的卡车和轿车各一辆。已知每小时卡车行65千米，轿车行80千米，现在卡车在轿车前1500米。轿车追上卡车的前1分钟，两车相距多远?
不究其问题的实质，一般解法是：
因为轿车追上卡车的前1分钟两车相距多远，也就是两车行至第五分钟时的距离。故所求为
若由追及所用的时间和每分钟追及的距离求就更麻烦了。
如果从时间上“倒过来”考虑，将会顿悟问题的实质是求分速度的差。
即(80-65)÷60=0.25(千米)=250(米)
小学数学难题解法大全之如何去想（五）
文章摘要：在遇到某些具体问题时同学们该如何去想，该想些什么东西。为此，数学频道编辑部整理了一些这方面的内容，以便同学们更好的去学习这些知识。
由合数想
例1 能被十个最小自然数整除的最小四位数是( )。
这个合数，一定是三个合数和一个质数的乘积。
例2 1989×20002000—2000×19891989=( )
合数的20002000和19891989,有相同的质因数。
原式=1989×(2000×10001)-2000×(1989×10001)=0.
例3 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题第一试7题：在下面的算式中，所有分母都是四位数。请在每个方格里各填入一个数，使等式成立。
由式右的分子为1,知式左的两个分数相加的和可约分。若是同分母分数相加约分后，式右的分母不可是四位数，只能是异分母。
从分析合数1988入手：
(1)1988=4×7×71. 1988是4的倍数，如果式左两个分数的分子之和为4,则可约成分子是1的最简分数。
(2)由4×7=28, 28+43=71, 知
例4 最大公约数是1,两两均不互质，且大于50而小于100的三个数是( )、( )、( )。
解答此题，需综合应用合数、质数、互质数、质因数、公有质因数、最大公约数等概念。取三个两两互质的数，且它们两两之积大于50、小于100,得五组解：
7、8、9得56、63、72;
7、8、11得56、77、88;
7、9、10得63、70、90;
7、9、11得63、77、99;
8、9、11得72、88、99.
所取三数之间相互互质，其两两之积的三个数定无公有的质因数，最大公约数是1;每组的三个数都是两两的积，其两两之间必有相同的质因数。
由两个一半想
例5 一人从甲地到乙地走2小时离中点还有2千米，走3小时离终点还有12千米，求甲、乙两地的距离。
分析：由两个一半数量关系相同可知：走这个一半路程用了2小时还差2千米没走;那么，走另一个一半路程亦应用2小时还差2千米没走，由此可推出，走4小时(2小时+2小时)则全程还剩下4千米(2千米+2千米)没走。根据题意“走3小时离终点还有12千米”推得他每小时走(12-4)÷(4-3)=8(千米)
两地距离为 8×3+12=36(千米)
综合式：(12-2×2)÷(2×2-3)×3+12=36(千米)
例6 日本初中入学试题：已知甲堆货物的重量比乙堆重量的一半少9吨，乙堆比甲堆的3倍多3吨，求甲堆的重量。
解：由题意定甲堆货物为标准量1倍。由此可知，乙堆的一半里含有1倍又9吨，整个乙堆(即两个一半)，则共含有2倍又18吨。又由题知乙堆是甲堆的3倍多3吨，由此推得这18吨里应含有1倍(3倍-1倍-1倍)又3吨，因而推得1倍量为18-3=15(吨)即甲堆为15吨。
综合式：(9+9-3)÷(3-1-1)=15(吨)
例7 一批货，第一次运出261吨，第二次运出剩下的
这样正好运去这批货的一半。这批货原有多少吨?
解：依题意知，第一次与第二次运出的货合起来恰好是这批货重量的一半，那么没有运出的也是这批货的一半。前面那个一半含有261吨又一个第
由三数和求
例8 在右图六角星的○里，分别填上一个数，使每条边上四个数的和相等。
可这样想：填右下角○中的数
则6+2+7-5-1
=15-6=9.
事实上，此题所求数均为所对边中间两数之和。
由尾数想
一些数字问题，如果从条件的尾数入手，寻找尾数的特点，就会找到极为简捷的解题途径。
例9 请你按下表所列条件，求出阅读、作文各几分。
分析：由于三门课程分数之和的尾数是8(6×3=18)。所以阅读课的分数的末位数是8-3-0=5，因此阅读是85分。又由于三门课程的十位数之和为25(86×3=258)，那么作文分数的十位数字为25-8-9=8，即作文是83分。
例10 用25米绳子截成两种跳绳。甲种每根长2.4米，乙种每根长1米。问各截多少根恰好把绳用尽?
解：由条件知，甲种总用绳必为整米数。因此只能是5根或10根。
当甲种是5根时，共用绳2.4×5=12(米)。余绳25-12=13(米)，余绳可截成乙种跳绳13÷1=13(根);
当甲种跳绳是10根时，共用绳2.4×10=24(米)，余绳25-24=1(米)，可截成乙种跳绳1根。
所以截甲种5根，乙种13根或甲种10根，乙种1根时恰好把绳用尽。
小学数学难题解法大全之如何去想（四）
文章摘要：在遇到某些具体问题时同学们该如何去想，该想些什么东西。为此，数学频道编辑部整理了一些这方面的内容，以便同学们更好的去学习这些知识。
由1+2+…+10想到的
著名德国数学家高斯，8岁时能很快算出1+2+3+…+100的结果。
像这样求具有某种特性的一串数之和的问题是很多的。
例题：
一堆电杆，最底层10根，第二层9根，以后每上一层，电杆减少1根。问十层共多少根?
这是求1～10连续自然数的和，仔细观察这串数可发现：和这串数的两端距离相等的两个数的和，等于首末两数的和。即1+10=11、2+9=11、3+8=11、……
用S表示上式的和，则有
S=1+2+3+…+9+10,
S=10+9+8+…+2+1,
=11×10=(1+10)×10,
用n表示连续自然数的个数，则有
高斯当年就是用这种方法速算的。
只要具有“与首末两端距离相等的两数和，等于首末两数和”特点的一串数，其和都可用此公式求得。
例题，求下列一串偶数或奇数的和：
2+4+6+8+10+12+14+16
1+3+5+7+9+11+13+15
只是要注意：
偶数串的首数不是1而是2,两串数的末数与数的个数不同。
如果用a表示首数，b表示末数，n表示个数，则和S为
通用《数学》第七册，在一道左图圆木总根数的习题中，提出了公式：
这种用以“大配小”的方式计算一串数的和的思想，在求图形面积时也曾用到过。如梯形面积公式。
这类问题，我国古代数学家早就有过研究。如宋朝杨辉提出：今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束，问共几束?
由比想
例题：(1986年10月，“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题)12题：上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几点几分?
思路一：从父子俩的速度比入手。
在第二次追及的过程中，小明行4千米时、爸爸已行12千米(往返于相距4千米的两地之间，并追赶了小明4千米)，可见爸爸的速度是小明速度的3倍。从8点8分开始，到第二次追及，小明共行8千米，照理爸爸该行24千米，但爸爸仅行了16千米。少行8千米的原因是第一次追赶时，爸爸晚行了8分钟，可见爸爸的速度为每分钟1千米。行16千米花了16分钟，加上第一次追赶时晚行的8分钟，共计24分钟。故知这时应是8点32分。
思路二：从两次追及的比较入手。
第一次爸爸追赶小明时，晚8分钟出发，结果追上时，小明走了4千米;
第二次爸爸因往返于第一次追及处与家之间，又恰好在小明再走了4千米时追上他，两次追及的情况相同。
可见爸爸行8千米的路程恰好用了8分钟，第二次共行12千米，用的时间应为12分钟。第一次所用的时间与此相同，也应是12分钟，两次共用24分钟。故这时是8点32分。
由长宽想
例题：相同的两块长100cm，宽75cm的长方形纸板，重叠放着。其中一块沿另一块的对角线方向，以固定的速度挪开。
①这两块纸板在离开前的1分钟(如图)，重叠部分的周长为28cm.这时重叠的面积是多少?
②在进行移动中途的某一时刻，经1分钟时间，相重叠的面积减少912cm2.
a试求在这1分钟开始时，这两块纸板相重叠部分的二边ab、bc(如图)长分别是多少?
b试求这种情况发生的时间间隔，是挪动纸板由几分几秒开始到几分几秒止的1分钟?
分析与解答：
②(a)用长方形的对角线的一部分分开的两个梯形(画阴影线)的面积相等。已知相重叠的长方形长、宽的长度，经1分钟后，分别缩短了8cm和6cm.所以设原来ab的长度为x cm，那么可列式
{(x-6)+x｝×8÷2=912÷2.
解得x=60.于是可得bc为80cm.
(b)因ab长60cm,从开始挪开时起，宽挪开了75-60=15(cm),15÷6=2.5.即由2分30秒起到3分30秒止的1分钟时间。
由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立?其结果是0,0.5,1,1.5,2.
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0;一个数加上或减去0，仍等于这个数;
一个因数是0，积就等于0;0除以一个数(不是0)，商等于0;
两个相同数的商为1;1除以0.5，商等于2;……
解法很多，只举几种：
(0.5-0.5)×0.5×0.5×0.5=0;0.5-0.5-(0.5-0.5)×0.5=0;
(0.5+0.5+0.5)×(0.5-0.5)=0;(0.5+0.5-0.5-0.5)×0.5=0
(0.5-0.5)×0.5×0.5+0.5=0.5;0.5+0.5+0.5-0.5-0.5=0.5;
(0.5+0.5)×(0.5+0.5—0.5)=0.5;(0.5+0.5)×0.5+0.5-0.5=0.5
(0.5-0.5)×0.5+0.5+0.5=1;0.5÷0.5+(0.5-0.5)×0.5=1;
(0.5-0.5)÷0.5+0.5+0.5=1;(0.5+0.5)÷0.5-(0.5+0.5)=1
0.5-0.5+0.5+0.5÷0.5=1.5;(0.5+0.5)×0.5+0.5+0.5=1.5;
0.5+0.5+0.5+0.5-0.5=1.5;0.5÷0.5+0.5÷0.5-0.5=1.5
0.5÷0.5÷0.5+0.5-0.5=2;(0.5+0.5)÷0.5+0.5-0.5=2;
(0.5+0.5+0.5-0.5)÷0.5=2;[(0.5+0.5)×0.5+0.5]÷0.5=2
由范围想
例题 连续几张日历上的日数的和是49.那么，第一张日历的日数最小是几号?最大是几号?
如几张日历在同月可能的情况有：
24+25=49
4+5+6+7+8+9+10=49
如几张日历不在同月可能的情况有：
28+1+2+3+4+5+6=49
故最小是4号，最大是28号。
例题 美国小学数学奥林匹克(1981年12月)第二次4题：16枚硬币总值1元钱，其中只有5分和10分两种。每种硬币各多少个?
总值最大的是1枚5分币和15枚10分币，合计1.55元。每增加1枚5分币，减少1枚10分币，总价值就减少0.05元。而
1.55-1=0.55(元)
0.55÷0.05=11
这说明必需有11枚10分币换为5分币，所以5分币个数为1+11=12(枚);10分币个数为15-11=4(枚)。
例题 复兴路第三小学买三台录音机的发票不慎丢失，只记得台价在100至200元之间，总金额的尾数是5，末两位数字和是14，试求总金额?
由题意知总金额的末两位数是
(14-5)×10+5=95(元)
思路一：由单价在100至200元之间，知总价介于300～600元。此间尾数为95的只有395、495、595。唯独495是3的倍数，故总价为495元。
思路二：假设单价是100元，则总价100×3=300(元)。尾数是95，显然300元比实际的总金额少了，只好增加百位数字。
若由3变4,495恰是3的倍数。
思路三：总价的个位数字是5,单价的个位数字必为5,因为5×3=15的尾数是5.
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