一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
4. 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A B.
C. D.
5. 已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
8. 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
9. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________．
11. 在的展开式中，项的系数为_________．
12. 过原点一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
14. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
15. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角所对边分別是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求．
17. 三棱台中，若面，分别是中点.
（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18. 设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
19. 已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
20. 已知函数．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
参考答案
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 【答案】A
2. 【答案】B
3. 【答案】D
4. 【答案】D
5. 【答案】B
6. 【答案】C
7. 【答案】C
8. 【答案】B
9. 【答案】D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 ①. ②.
14.【答案】 ①. ②.
15. 【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角所对的边分別是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由正弦定理可得，，即，解得：；
【小问2详解】
由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
【小问3详解】
由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
17. 三棱台中，若面，分别是中点.
（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
小问1详解】
连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
【小问2详解】
过作，垂足为，过作，垂足为,连接.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
【小问3详解】
[方法一：几何法]
过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点到平面的距离为.
，
.
由，即.
18. 设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.
（2）.
【小问1详解】
如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
【小问2详解】
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
19. 已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【答案】（1），；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
注意到，从到共有项，
故.
小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：.
20. 已知函数
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
，则，
所以，故处的切线斜率为；
【小问2详解】
要证时，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时.
【小问3详解】
设，，
则，
由（2）知：，则，
所以，故在上递减，故；
下证，
令且，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，故在上恒成立，
则，
所以，，…，，
累加得：，而，则，
所以，故；
综上，，即
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