高考数学主要考察考生,基本计算的准确与速度,通过多做一些模拟试卷将有助于我们的高考数学成绩,以下是烟花美文网小编为你整理的2018届自贡市高考数学模拟试卷,希望能帮到你。

  2018届自贡市高考数学模拟试卷题目

  一、选择题

  1.设集合A={x∈N|,0≤x≤2},B={x∈N|1≤x≤3},则A∪B=(  )

  A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}

  2.若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个取旅游,那么恰好选1个滨海城市的概率是(  )

  A. B. C. D.

  3.已知复数z=1+i,则 等于(  )

  A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2

  4.设变量x,y满足线性约束条件 则目标函数z=2x+4y的最小值是(  )

  A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6

  5.阅读右边程序框图,当输入的值为3时,运行相应程序,则输出x的值为(  )

  A.7 B.15 C.31 D.63

  6.已知数列{an}为等差数列,Sn为前n项和,公差为d,若 ﹣ =100,则d的值为(  )

  A. B. C.10 D.20

  7.设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是(  )

  A.若α⊥β,m⊥α,则m∥β B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n

  C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

  8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若sinA=2 sinB, ,则△ABC的面积为(  )

  A. B. C. D.

  9.给出下列命题:

  ①函数y=cos( ﹣2x)是偶函数;

  ②函数y=sin(x+ )在闭区间上是增函数;

  ③直线x= 是函数y=sin(2x+ )图象的一条对称轴;

  ④将函数y=cos(2x﹣ )的图象向左平移 单位,得到函数y=cos2x的图象,其中正确的命题的个数为(  )

  A.1 B.2 C.3 D.4

  10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

  A. B. C. D. +2

  11.已知函数f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2,若f(a2)+f(a﹣2)>4,则实数a的取值范围(  )

  A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,3) C.(﹣1,2) D.(﹣2,1)

  12.已知双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0),过双曲线右焦点F倾斜角为 的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N.若|FM|=2|FN|,则该双曲线的离心率等于(  )

  A. B. C. 或 D. 或

  二、填空题

  13.设等比数列{an}的公比q= ,前n项和为Sn,则 =  .

  14.已知向量 , ,其中| |= ,| |=2,且( + )⊥ ,则向量 , 的夹角是  .

  15.关于函数f(x)=ln ,有下列三个命题:

  ①f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞);

  ②f(x)为奇函数;

  ③f(x)在定义域上是增函数;

  ④对任意x1,x2∈(﹣1,1),都有f(x1)+f(x2)=f( ).

  其中真命题有  (写出所有真命题的番号)

  16.如图所示,一辆装载集装箱的载重卡车高为3米,宽为2.2米,欲通过断面上部为抛物线形,下部为矩形ABCD的隧道.已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍,AD=1米.若设拱口宽度为t米,则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于  .

  三、解答题

  17.已知函数f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

  (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

  (Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值.

  18.如图,圆锥的横截面为等边三角形SAB,O为底面圆圆心,Q为底面圆周上一点.

  (Ⅰ)如果BQ的中点为C,OH⊥SC,求证:OH⊥平面SBQ;

  (Ⅱ)如果∠AOQ=60°,QB=2 ,求该圆锥的体积.

  19.某超市计划每天购进某商品若干件,该超市每销售一件该商品可获利润80元,若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品亏损20元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利40元.

  (Ⅰ)若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:件,n∈N)的函数解析式;

  (Ⅱ)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位:件,n∈N),整理得下表:

  日需求量 7 8 9 10 11 12

  频数 5 7 10 14 10 4

  若商店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间内的概率.

  20.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为e= ,它的一个顶点的坐标为(0,﹣1)

  (Ⅰ)求椭圆C的方程;

  (Ⅱ)若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣ x+ 对称,求△OAB的面积的最大值(O为坐标原点).

  21.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).

  (1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x﹣1,求实数a,b的值;

  (2)在(1)的b下,当a≥2时,讨论函数f(x)的零点的个数.

  请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

  22.在直角坐标系xoy中,直线l过点M(3,4),其倾斜角为45°,以原点为极点,以x正半轴为极轴建立极坐标,并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位,圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.

  (Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的普通方程;

  (Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,求|MA|•|MB|的值.

  23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2

  (Ⅰ)解不等式f(x)≥0

  (Ⅱ)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.

  2018届自贡市高考数学模拟试卷答案

  一、选择题

  1.设集合A={x∈N|,0≤x≤2},B={x∈N|1≤x≤3},则A∪B=(  )

  A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}

  【考点】1D:并集及其运算.

  【分析】化简集合A、B,根据并集的定义写出A∪B.

  【解答】解:集合A={x∈N|,0≤x≤2}={0,1,2},

  B={x∈N|1≤x≤3}={1,2,3},

  则A∪B={0,1,2,3}.

  故选:B.

  2.若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个取旅游,那么恰好选1个滨海城市的概率是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.

  【分析】先求出基本事件总数n=4,再求出恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2,由此能求出恰好选1个海滨城市的概率.

  【解答】解:从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选1个去旅游,

  基本事件总数n=4

  恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2,

  恰好选1个海滨城市的概率是p= = .

  故选:D.

  3.已知复数z=1+i,则 等于(  )

  A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2

  【考点】A7:复数代数形式的混合运算.

  【分析】复数代入表达式,利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可.

  【解答】解:因为复数z=1+i,

  所以 = = =﹣ =2i.

  故选A.

  4.设变量x,y满足线性约束条件 则目标函数z=2x+4y的最小值是(  )

  A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6

  【考点】7C:简单线性规划.

  【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

  【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,

  联立 ,解得A(3,﹣3),

  化目标函数z=2x+4y为y= x+ ,

  由图可知,当直线y= x+ 过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为6﹣12=﹣6,

  故选:D.

  5.阅读右边程序框图,当输入的值为3时,运行相应程序,则输出x的值为(  )

  A.7 B.15 C.31 D.63

  【考点】EF:程序框图.

  【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的x,n的值,当n=4时不满足条件n≤3,退出循环,输出x的值为31.

  【解答】解:模拟程序的运行,可得

  x=3,n=1

  满足条件n≤3,执行循环体,x=7,n=2

  满足条件n≤3,执行循环体,x=15,n=3

  满足条件n≤3,执行循环体,x=31,n=4

  不满足条件n≤3,退出循环,输出x的值为31.

  故选:C.

  6.已知数列{an}为等差数列,Sn为前n项和,公差为d,若 ﹣ =100,则d的值为(  )

  A. B. C.10 D.20

  【考点】85:等差数列的前n项和.

  【分析】由等差数列{an}可得: = d= n+ 为等差数列,即可得出.

  【解答】解:由等差数列{an}可得: = d= n+ 为等差数列,

  ∵ ﹣ =100,

  ∴ + ﹣ =100,

  ∴10d=1,解得d= .

  故选:B.

  7.设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是(  )

  A.若α⊥β,m⊥α,则m∥β B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n

  C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

  【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.

  【分析】A:漏掉了m⊂β.B:根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C:漏掉了m与n相交、异面的情况.D:可以举出墙角的例子.

  【解答】解:A:直线m也可以在平面β内.

  B:根据线线垂直的判定可得结论是正确的.

  C:m与n可能平行也可能相交也可能异面.

  D:α与β也可以相交.可以举出墙角的例子.

  故选B.

  8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若sinA=2 sinB, ,则△ABC的面积为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.

  【分析】根据题意,由正弦定理可得a=2b,进而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16,解可得b的值,进而可得a的值,由三角形面积公式计算可得答案.

  【解答】解:根据题意,△ABC中,若sinA=2sinB,则有a=2b,

  c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16,

  解可得b= ,则a=2b= ,

  则S△ABC= absinC= ,

  故选:A.

  9.给出下列命题:

  ①函数y=cos( ﹣2x)是偶函数;

  ②函数y=sin(x+ )在闭区间上是增函数;

  ③直线x= 是函数y=sin(2x+ )图象的一条对称轴;

  ④将函数y=cos(2x﹣ )的图象向左平移 单位,得到函数y=cos2x的图象,其中正确的命题的个数为(  )

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

  【分析】利用诱导公式化简①,然后判断奇偶性;求出函数y=sin(x+ )的增区间,判断②的正误;

  直线x= 代入函数y=sin(2x+ )是否取得最值,判断③的正误;利用平移求出解析式判断④的正误即可.

  【解答】解:①函数y=sin( ﹣2x)=sin2x,它是奇函数,不正确;

  ②函数y=sin(x+ )的单调增区间是,k∈Z,在闭区间上是增函数,正确;

  ③直线x= 代入函数y=sin(2x+ )=﹣1,所以x= 图象的一条对称轴,正确;

  ④将函数y=cos(2x﹣ )的图象向左平移 单位,得到函数y=cos(2x+ )的图象,所以④不正确.

  故选:B.

  10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

  A. B. C. D. +2

  【考点】L!:由三视图求面积、体积.

  【分析】如图所示,该几何体由两个三棱锥组成的,利用三角形面积计算公式即可得出.

  【解答】解:如图所示,该几何体由两个三棱锥组成的,

  该几何体的表面积S= +1×1+ + +

  = .

  故选:A.

  11.已知函数f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2,若f(a2)+f(a﹣2)>4,则实数a的取值范围(  )

  A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,3) C.(﹣1,2) D.(﹣2,1)

  【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.

  【分析】根据题意,令g(x)=f(x)﹣2,则g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x,分析可得g(x)的奇偶性与单调性,则f(a2)+f(a﹣2)>4,可以转化为g(a2)>﹣g(a﹣2),结合函数的奇偶性与单调性分析可得a2<2﹣a,解可得a的范围,即可得答案.

  【解答】解:根据题意,令g(x)=f(x)﹣2,

  则g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x,

  g(﹣x)=﹣2(﹣x)5﹣(﹣x)3﹣7(﹣x)=﹣(﹣2x5﹣x3﹣7x),则g(x)为奇函数,

  而g(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x,则g′(x)=﹣10x4﹣2x2﹣7<0,则g(x)为减函数,

  若f(a2)+f(a﹣2)>4,则有f(a2)﹣2>﹣,

  即g(a2)>﹣g(a﹣2),

  即g(a2)>g(2﹣a),

  则有a2<2﹣a,

  解可得﹣2

  即a的取值范围是(﹣2,1);

  故选:D.

  12.已知双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0),过双曲线右焦点F倾斜角为 的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N.若|FM|=2|FN|,则该双曲线的离心率等于(  )

  A. B. C. 或 D. 或

  【考点】KC:双曲线的简单性质.

  【分析】求出双曲线的渐近线方程,讨论b>a>0,可得N为FM的中点.当a>b>0时,可得 =﹣2 ,求出直线MN的方程,联立渐近线方程可得M,N的坐标,求得b=3a或a=3b,再由离心率公式即可得到所求值.

  【解答】解:双曲线C: ﹣ =1的渐近线方程为y=± x,

  当b>a>0时,如右图.

  若|FM|=2|FN|,可得N为FM的中点.

  由直线MN:y=x﹣c,联立y= x,可得M( , ),

  由直线MN:y=x﹣c,联立y=﹣ x,可得N( ,﹣ ),

  由F(c,0),可得﹣ = ,

  化简为b=3a,

  即有e= = = = ;

  当a>b>0时,如右图.

  若|FM|=2|FN|,可得 =﹣2 ,

  由直线MN:y=x﹣c,联立y= x,可得M( , ),

  由直线MN:y=x﹣c,联立y=﹣ x,可得N( ,﹣ ),

  由F(c,0),可得 =﹣2•(﹣ ),

  化简为a=3b,

  即有e= = = = .

  则该双曲线的离心率等于 或 .

  故选:D.

  二、填空题

  13.设等比数列{an}的公比q= ,前n项和为Sn,则 =   .

  【考点】8G:等比数列的性质.

  【分析】利用等比数列的通项与求和公式,即可求出 .

  【解答】解:∵等比数列{an}的公比q= ,

  ∴S4= = a1,a2= a1,

  ∴ = = .

  故答案为: .

  14.已知向量 , ,其中| |= ,| |=2,且( + )⊥ ,则向量 , 的夹角是   .

  【考点】9R:平面向量数量积的运算.

  【分析】利用向量垂直的条件,结合向量数量积公式,即可求向量 , 的夹角

  【解答】解:设向量 , 的夹角为θ,

  ∵| |= ,| |=2,且( + )⊥ ,

  ∴( + )• = + = +| |•| |cosθ=2+2 cosθ=0,

  解得cosθ=﹣ ,

  ∵0≤θ≤π,

  ∴θ= ,

  故答案为:

  15.关于函数f(x)=ln ,有下列三个命题:

  ①f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞);

  ②f(x)为奇函数;

  ③f(x)在定义域上是增函数;

  ④对任意x1,x2∈(﹣1,1),都有f(x1)+f(x2)=f( ).

  其中真命题有 ②④ (写出所有真命题的番号)

  【考点】4N:对数函数的图象与性质.

  【分析】由函数f(x)=ln =ln( ),根据函数的各性质依次判断各选项即可.

  【解答】解:函数f(x)=ln =ln( ),

  其定义域满足:(1﹣x)(1+x)>0,解得:﹣1

  由f(﹣x)=ln =ln =ln( )﹣1=﹣ln =﹣f(x),是奇函数,∴②对.

  定义域为{x|﹣1

  f(x1)+f(x2)=ln +ln =ln( × )=f( ).∴④对.

  故答案为②④

  16.如图所示,一辆装载集装箱的载重卡车高为3米,宽为2.2米,欲通过断面上部为抛物线形,下部为矩形ABCD的隧道.已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍,AD=1米.若设拱口宽度为t米,则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于 9 .

  【考点】K9:抛物线的应用.

  【分析】建立如图所示的坐标系,求出抛物线的方程,即可求出求出能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值.

  【解答】解:建立如图所示的坐标系,则B( ,﹣ ),

  设抛物线方程为x2=ay,则 ,∴a=﹣t,

  ∴x2=﹣ty,

  由题意,x=1.1,y=﹣

  ∴﹣ + ≥2,

  t=8,﹣ + <2,t=9,﹣ + >2,

  ∴能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于9.

  故答案为9.

  三、解答题

  17.已知函数f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

  (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

  (Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值.

  【考点】HW:三角函数的最值;H1:三角函数的周期性及其求法.

  【分析】(Ⅰ)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期

  (Ⅱ)x∈上时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的最大值.

  【解答】解:函数f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

  化简可得:f(x)=4sinxcosxcos +4sin2xsin +1

  = sin2x+1﹣cos2x+1=2sin(2x )+2.

  (Ⅰ)∴函数f(x)的最小正周期T= .

  (Ⅱ)∵x∈上时,

  ∴2x ∈

  当2x = 时,函数f(x)取得最大值为2× = .

  ∴函数f(x)在区间上的最大值为 .

  18.如图,圆锥的横截面为等边三角形SAB,O为底面圆圆心,Q为底面圆周上一点.

  (Ⅰ)如果BQ的中点为C,OH⊥SC,求证:OH⊥平面SBQ;

  (Ⅱ)如果∠AOQ=60°,QB=2 ,求该圆锥的体积.

  【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定.

  【分析】(Ⅰ)连接OC,AQ,由已知可得OC∥AQ,再由AB为圆的直径,可得OC⊥BQ,由SO⊥平面ABQ,得SO⊥BQ,由线面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC,进一步得到平面SBQ⊥平面SOC,由面面垂直的性质可OH⊥平面SBQ;

  (Ⅱ)由已知求解三角形可得OQ=OA=2,SA=4,则SO= .由已知体积公式求得圆锥的体积.

  【解答】(Ⅰ)证明:连接OC,AQ,

  ∵O为AB的中点,且BQ的中点为C,

  ∴OC∥AQ,

  ∵AB为圆的直径,∠AQB=90°,∴OC⊥BQ,

  ∵SO⊥平面ABQ,∴SO⊥BQ,

  又SO∩OC=O,∴BQ⊥平面SOC,

  则平面SBQ⊥平面SOC,

  又平面SBQ∩平面SOC=SC,OH⊥SC,

  ∴OH⊥平面SBQ;

  (Ⅱ)解:∵∠AOQ=60°,QB=2 ,∴OC=1,OQ=OA=2,SA=4,

  则SO= .

  ∴圆锥的体积V= .

  19.某超市计划每天购进某商品若干件,该超市每销售一件该商品可获利润80元,若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品亏损20元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利40元.

  (Ⅰ)若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:件,n∈N)的函数解析式;

  (Ⅱ)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位:件,n∈N),整理得下表:

  日需求量 7 8 9 10 11 12

  频数 5 7 10 14 10 4

  若商店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间内的概率.

  【考点】5D:函数模型的选择与应用.

  【分析】(Ⅰ)分类求出函数解析式,即可得出利润y关于需求量n的函数解析式;

  (Ⅱ)利润在区间内,日需求量为10、11、12,其对应的频数分别为14、10、4,即可求出概率.

  【解答】解:(Ⅰ)当日需求量n≥10时,

  利润为y=80×10+(n﹣10)×40=40n+400; …

  当日需求量n<10时,利润为y=80n﹣(10﹣n)×20=100n﹣200.…

  所以利润y关于需求量n的函数解析式为y= …

  (Ⅱ)50天内有5天获得的利润为500元,有7天获得的利润为600元,有10天获得的利润为700元,有14天获得的利润为800元,有10天获得的利润为840元,有4天获得的利润为880元.…

  若利润在区间内,日需求量为10、11、12,其对应的频数分别为14、10、4.…

  则利润在区间内的概率为 =0.56. …

  20.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为e= ,它的一个顶点的坐标为(0,﹣1)

  (Ⅰ)求椭圆C的方程;

  (Ⅱ)若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣ x+ 对称,求△OAB的面积的最大值(O为坐标原点).

  【考点】KL:直线与椭圆的位置关系;K3:椭圆的标准方程.

  【分析】(I)由题意可得: = ,b=1,a2=b2+c2,联立解得a,b,c即可得出.

  (II)直线AB的方程为:y=mx+n.与椭圆方程联立化为:(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0,△>0,可得1+2m2>n2.设A(x1,y1),B(x2,y2).利用根与系数的关系可得线段AB的中点G ,代入直线y=﹣ x+ ,可得:n=﹣ .利用|AB|= .d= ,可得S△OAB= |AB|•d,再利用二次函数的单调性即可得出.

  【解答】解:(I)由题意可得: = ,b=1,a2=b2+c2,

  联立解得a= ,b=c=1.

  ∴椭圆C的方程为: +y2=1.

  (II)直线AB的方程为:y=mx+n.联立 ,化为:(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0,

  △=16m2n2﹣4(1+2m2)(2n2﹣2)>0,

  ∴1+2m2>n2.

  设A(x1,y1),B(x2,y2).

  ∴x1+x2= ,x1•x2= ,

  ∴线段AB的中点G ,代入直线y=﹣ x+ ,可得:n=﹣ .

  ∴x1+x2=2m,x1•x2= ,

  ∴|AB|= = •

  = • .

  d= = .

  ∴S△OAB= |AB|•d= ×(1+2m2)ו .

  令1+2m2=t>1,则S△OAB= =f(t),(1

  当t=1+2m2=2时,即m2= 时,S△OAB的最大值为 .

  21.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).

  (1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x﹣1,求实数a,b的值;

  (2)在(1)的b下,当a≥2时,讨论函数f(x)的零点的个数.

  【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;54:根的存在性及根的个数判断.

  【分析】(1)求出函数f(x)的导数,由已知切线的方程可得f(1)=0,f′(1)=1,解方程可得a,b的值;

  (2)求出f(x)的导数,并分解因式,讨论a=2,a>2,判断导数的符号,求得单调区间,由f(1)=0,运用构造函数法,求出导数,判断单调性,即可得到所求结论.

  【解答】解:(1)函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b的导数为f′(x)=2ax﹣(a+2)+ ,

  可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1,

  由切线方程y=x﹣1,可得a﹣1=1,解得a=2;

  由f(1)=a﹣a﹣2+0+b=0,解得b=2.

  (2)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+2(x>0,a≥2),

  导数为f′(x)=2ax﹣(a+2)+ = = ,

  当a=2时,f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,f(x)在(0,+∞)递增,由f(1)=a﹣a﹣2+0+2=0,

  可得f(x)此时有一个零点;

  当a>2,即0< < 时,由f′(x)>0可得x> 或0

  即有f(x)的增区间为(0, ),( ,+∞),减区间为( , ),

  由f(1)=0,可得f(x)在( ,+∞)有且只有一个零点,且f( )<0.

  f( )=1﹣lna﹣ ,设g(x)=1﹣ ﹣lnx(x>2),g′(x)= <0(x>2),

  可得g(x)在(2,+∞)递减,可得g(x)

  于是f( )<0,f(x)在(0, )无零点,

  故a>2时,f(x)有且只有一个零点.

  综上可得,a≥2时,f(x)有且只有一个零点.

  请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

  22.在直角坐标系xoy中,直线l过点M(3,4),其倾斜角为45°,以原点为极点,以x正半轴为极轴建立极坐标,并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位,圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.

  (Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的普通方程;

  (Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,求|MA|•|MB|的值.

  【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.

  【分析】(Ⅰ)直线l过点M(3,4),其倾斜角为45°,参数方程为 ,(t为参数).由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程;

  (Ⅱ)直线l的参数方程代入圆方程得 +9=0,利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出.

  【解答】解:(Ⅰ)直线l过点M(3,4),其倾斜角为45°,参数方程为 ,(t为参数).

  圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ,直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0;

  (Ⅱ)将直线的参数方程代入圆方程得: +9=0,

  设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=5 ,t1t2=9,

  于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9.

  23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2

  (Ⅰ)解不等式f(x)≥0

  (Ⅱ)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.

  【考点】R5:绝对值不等式的解法.

  【分析】(Ⅰ)化简函数的解析式,分类讨论,求得不等式的解集.

  (Ⅱ)不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由题意可得,不等式①有解.根据绝对值的意义可得|x+ |﹣|x|∈,故有 +1≥﹣ ,由此求得a的范围.

  【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2= ,

  当x<﹣ 时,由﹣x﹣3≥0,可得x≤﹣3.

  当﹣ ≤x<0时,由3x﹣1≥0,求得 x∈∅.

  当x≥0时,由x﹣1≥0,求得 x≥1.

  综上可得,不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}.

  (Ⅱ)f(x)≤|x|+a,即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由题意可得,不等式①有解.

  由于|x+ |﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离,故|x+ |﹣|x|∈,

  故有 +1≥﹣ ,求得a≥﹣3.

[2018高考数学模拟卷]2018届自贡市高考数学模拟试卷题目及答案

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